import numpy as np
%matplotlib notebook
import matplotlib.pyplot as plt
import ipywidgets as widgets
from maux import *
hide_interactive_toolbars()

Lineárne funkcie

Lineárna funkcia je určená rovnicou $$y = ax+b,$$ kde $a \ne 0,b$ sú reálne čísla. Definičným oborom je množina reálnych čísel. Grafom je priamka so smernicou $a$ prechádzajúca bodom $[0, b]$.

• Wikipédia
• Wikipedia

Úvodný príklad

Nakreslenie grafu lineárnej funkcie danej rovnicou $$y = x.$$

#####
##### nakreslenie grafu funkcie
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return X # ufunc verzia funkcie
X = np.linspace(-3, 3, 6*10+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y = f(X) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 6) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram

## inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
init_subplot(ax)

## pomenovanie diagramu
ax.set_title(r"Graf funkcie $y = x$")

## nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
ax.set_aspect('equal')

## pravoúhla sieť
# ax.grid()

## graf funkcie
ax.plot(X, Y)

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Trochu zložitejší príklad

Nakreslenie grafu a vyšetrenie priebehu lineárnej funkcie danej rovnicou $$y = 2x+3.$$ Tu nás zaujíma tiež táto informácia:

• Nulové body funkcie.

#####
##### nakreslenie grafu a vyšetrenie priebehu funkcie
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return 2 * X + 3 # ufunc verzia funkcie
X = np.linspace(-3, 1, 4*10+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y = f(X) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(4, 8) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram

## inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
init_subplot(ax)

## pomenovanie diagramu
ax.set_title(r"Graf a priebeh funkcie $y = 2x+3$")

## nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
ax.set_aspect('equal')

## pravoúhla sieť
# ax.grid()

## graf funkcie
ax.plot(X, Y)

## nulové body funkcie
ax.plot(-3/2, 0, 'o', label=r"nulový bod $-\frac{3}{2}$")

## legenda
ax.legend()

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Pokyny pre nasledujúce príklady

V nasledujúcich príkladoch budeme kresliť grafy a vyšetrovať priebeh lineárných funkcií. Pretože tieto funkcie majú neohraničený definičný obor, budeme pri zostrojovaní grafu každej takejto funkcie vykreslovať len jej zaujímavú časť.

Pri vyšetrovaní priebehu každej z nasledujúcich funkcií treba určiť:

• nulové body funkcie.

Súradnice význačných bodov, ktoré sú zrejmé z grafu, netreba explicitne uvádzať.

Poznámka. Tu si uvedieme tie vlastnosti lineárnej funkcie $y = ax+b$, ktoré nebudeme graficky zobrazovať:

• Obor hodnôt je množina reálnych čísel.
• Funkcia je injektívna (prostá).
• Funkcia je rastúca pre $a > 0$ a klesajúca pre $a < 0$.
• Funkcia nemá extrémy.
• Ak $b = 0$, tak funkcia je nepárna.

#####
##### šablóna riešenia (nakreslenie grafu a vyšetrenie priebehu funkcie)
#####

#### vstupné údaje
# def f(X): return None # ufunc verzia funkcie
# X = np.linspace(None, None, None+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
# Y = f(X) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
# fig, ax = plt.subplots()
# fig.set_size_inches(6, 6) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
# init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
# ax.set_title(r"Graf a priebeh funkcie $y = ax+b$") # pomenovanie diagramu
# ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
# ax.grid() # pravoúhla sieť

## graf funkcie
# ax.plot(X, Y)

## nulové body funkcie
# ax.plot(None, 0, 'o', label=r"nulový bod $?$")

## legenda
# ax.legend()

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
# fig.show()

Úloha

Nakreslite grafy a vyšetrite priebeh týchto funkcií \begin{align*} y & = 3x+1, \\ y & = \frac{x}{2}-1, \\ y & = 2-3x. \end{align*}

Príklad

Zostrojenie inverznej funkcie k funkcii $$y = \frac{4}{5}x+\frac{1}{3}.$$ Grafické overenie, že riešenie je správne.

#####
##### inverzná funkcia
#####

#### vstupné údaje
def f(X): return 4/5 * X + 1/3 # ufunc verzia funkcie
X1 = np.linspace(-1, 4, 5*10+1) # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y1 = f(X1) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

def g(X): return X # ufunc verzia pre os súmernosti
X2 = X1 # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y2 = g(X2) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

def h(X): return 5/4 * X - 5/12 # ufunc verzia inverznej funkcie
X3 = X1 # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
Y3 = h(X3) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 8) # veľkosť obrázka (východzia hodnota je 6x4)

### diagram
init_subplot(ax) # inicializácia diagramu: vytvorí sa pravoúhla súradnicová sústava
ax.set_title(r"Inverzná funkcia") # pomenovanie diagramu
ax.set_aspect('equal') # nastavenie rovnakej mierky pre obe osi
# ax.grid() # pravoúhla sieť

## graf funkcie
color1 = ax.plot([], [])[0].get_color()
ax.plot(X1, Y1, color=color1, label=r"funkcia $y = \dfrac{4}{5}x+\dfrac{1}{3}$")

## os súmernosti
ax.plot(X2, Y2, 'k--', lw=1, label=r"os súmernosti")

## graf inverznej funkcie
color3 = ax.plot([], [])[0].get_color()
ax.plot(X3, Y3, color=color3, label=r"inverzná funkcia $y = \dfrac{5}{4}x-\dfrac{5}{12}$")

## legenda
ax.legend()

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Úloha (1 bod)

Zostrojte inverznú funkciu k funkcii $$y = \frac{4}{5}-\frac{2}{3}x.$$ Overte graficky, že riešenie je správne.

###
### šablóna riešenia
###

## zadanie
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 7)
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Inverzná funkcia") 
ax.set_aspect('equal') 
# ax.grid() # pravoúhla sieť

def f(X): return -2/3 * X + 4/5 
X1 = np.linspace(-2, 3, 5*10+1)
Y1 = f(X1)
ax.plot(X1, Y1, label=r"funkcia $y = \dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{3}x$")

def g(X): return X
X2 = X1
Y2 = g(X2)
ax.plot(X2, Y2, 'k--', lw=1, label=r"os súmernosti")

## riešenie
# def h(X): None # ufunc verzia inverznej funkcie
# X3 = X1 # výber hodnôt nezávislej premennej pre zaujímavú časť grafu
# Y3 = h(X3) # odpovedajúce hodnoty závislej premennej
# ax.plot(X3, Y3, label=r"inverzná funkcia $y = \dfrac{?}{?}-\dfrac{?}{?}x$") # graf inverznej funkcie

## dokončenie
ax.legend()
# fig.savefig("<meno súboru>.png")
fig.show()

Úloha

Zostrojte lineárnu funkciu, ktorej graf je priamka určenej rovnicou $$6x+10y-5 = 0.$$ Nakreslite graf a vyšetrite priebeh tejto funkcie.

Príklad

Zostrojenie priamky, ktorá prechádza bodmi $[-1,2]$ a $[3,-1]$. Grafické overenie, že riešenie je správne.

###
### vzorové riešenie (1. verzia)
###

## zadanie
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 5)
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Spojnica")
ax.set_aspect('equal')

ax.plot([-1, 3], [2, -1], 'o', label=r"body $[-1,2]$ a $[3,-1]$")

## riešenie
def f(X): return -3/4 * X + 5/4 # smernicový tvar rovnice priamky
X = np.linspace(-2, 4, 6*10+1)
ax.plot(X, f(X), label=r"riešenie $3x+4y-5 = 0$") # všeobecná rovnica priamky

## dokončenie
ax.legend()
fig.show()

###
### vzorové riešenie (2. verzia)
###

## zadanie
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 5)
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Spojnica")
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()

ax.plot([-1, 3], [2, -1], 'o')

## riešenie
def f(X): return -3/4 * X + 5/4 # smernicový tvar rovnice priamky
X = np.linspace(-2, 4, 6*10+1)
ax.plot(X, f(X), label=r"riešenie $3x+4y-5 = 0$") # všeobecná rovnica priamky

## dokončenie
ax.legend()
fig.show()

Úloha (1 bod)

Zostrojte priamku, ktorá prechádza bodom $[2,1]$ a je rovnobežná s priamkou $2x+3y-1 = 0$. Overte graficky, že vaše riešenie je správne.

###
### šablóna riešenia
###

## zadanie
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 6)
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Rovnobežka")
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()

ax.plot(2, 1, 'o')
X = np.linspace(-1, 5, 6*10+1)
ax.plot(X, (1 - 2 * X) / 3, label=r"priamka $2x+3y-1 = 0$")

## riešenie
# def f(X): return None # smernicový tvar rovnice priamky
# ax.plot(X, f(X), label=r"riešenie $?x+?y+? = 0$") # všeobecná rovnica priamky

## dokončenie
ax.legend()
fig.show()

Úloha (1 bod)

Zostrojte priamku, ktorá prechádza bodom $[-1,1]$ a je kolmá na priamku $4x-5y-7 = 0$. Overte graficky, že vaše riešenie je správne.

###
### šablóna riešenia
###

## zadanie
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6,7)
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Kolmica")
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()

ax.plot(-1, 1, 'o')
X = np.linspace(-2, 3, 5*10+1)
ax.plot(X, (4 * X - 7) / 5, label=r"priamka $4x-5y-7 = 0$")

## riešenie
# def f(X): return None # smernicový tvar rovnice priamky
# ax.plot(X, f(X), label=r"riešenie $?x+?y+? = 0$") # všeobecná rovnica priamky

## dokončenie
ax.legend()
fig.show()

Úloha (1 bod)

Zostrojte dotyčnicu kružnice $x^2+y^2 = 8$ v bode $[2,2]$. Overte graficky, že vaše riešenie je správne.

###
### šablóna riešenia
###

## zadanie
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 7)
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Dotyčnica")
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()

T = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
ax.plot(np.sqrt(8) * np.cos(T), np.sqrt(8) * np.sin(T), label=r"kružnica $x^2+y^2 = 8$")
ax.plot(2, 2, 'o')

## riešenie
# def f(X): return None # smernicový tvar rovnice priamky
# X = np.linspace(-4, 5, 9*10+1)
# ax.plot(X, f(X), label=r"riešenie $?x+?y+? = 0$") # všeobecná rovnica priamky

## dokončenie
ax.legend()
fig.show()

Príklad

Nakreslenie grafov lineárnych homogénnych funkcií $$y = x+b$$ pre $b = -2, -1, 0, 1, 2$ do jedného obrázka. Grafom je priamka, ktorá vznikne s priamky $y = x$ posunutím o $b$ jednotiek pozdĺž osi $y$.

Dokumentácia:

• matplotlib.axes.Axes.set_xticks
• matplotlib.axes.Axes.set_yticks

#####
##### grafy parametrického systému funkcií
#####

#### vstupné údaje
def f(X, b): return X + b
X = np.linspace(-3, 3, 6*10+1)

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 10)

### diagram
init_subplot(ax)
ax.set_title(r"Grafy funkcií $y = x+b$")
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()
ax.set_xticks(range(-3, 3+1)) # kótovanie x-ovej osi
ax.set_yticks(range(-5, 5+1)) # kótovanie y-ovej osi

## grafy funkcií
for b in [-2, -1, 0, 1, 2]:
    ax.plot(X, f(X, b), label=r"$b = {}$".format(b))

## legenda
ax.legend()

### archivácia obrázka
# fig.savefig("<meno súboru>.png")

### samotné zobrazenie
fig.show()

Pokračovanie predchadzajúceho príkladu

To isté ako v predchadzajúcom príklade, len vykreslenie sa deje pomocou interaktívnych prvkov knižnice ipywidgets.

#####
##### grafy parametrického systému funkcií (interaktívna verzia)
#####

#### vstupné údaje
def f(X, b): return X + b
X = np.linspace(-3, 3, 6*10+1)

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(6, 10)

### diagram
init_subplot(ax)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()
ax.set_ylim(-5.3, 5.3) # ohraničenie hodnôt pre os y
ax.set_xticks(range(-3, 3+1)) # kótovanie x-ovej osi
ax.set_yticks(range(-5, 5+1)) # kótovanie y-ovej osi

## graf funkcie y = x + b
def plot_graph(b):
    ax.set_title(r"Graf funkcie $y = x + {0}$".format(b))
    if ax.lines:
        ax.lines[0].set_ydata(f(X, b))
    else:
        ax.plot(X, f(X, b))

widgets.interact(plot_graph,
                 b=widgets.SelectionSlider(options=[-2, -1, 0, 1, 2], value=0)
                )

### samotné zobrazenie
fig.show()

Úloha

Do jedného obrázka nakreslite grafy lineárnych homogénnych funkcií $$y = ax$$ pre $a = -2, -1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, 2$.

Návod. Nasledujúci obrázok obsahuje jedno z možných riešení. Iné riešenie by bolo pomocou interaktívnych prvkov knižnice ipywidgets.

Interaktívny príklad

Nakreslenie grafu lineárnej funkcie danej rovnicou vo vrcholovom tvare $$y = a(x-h)+k$$ pre vybrané hodnoty parametrov $a,h,k$. Grafom je priamka so smernicou $a$ prechádzajúca bodom $[h,k]$.

#####
##### grafy parametrického systému funkcií (interaktívna verzia)
#####

#### vstupné údaje
def f(X, a, h, k): return a * (X - h) + k
X = np.linspace(-3, 3, 6*10+1)

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(4, 12)

### diagram
init_subplot(ax)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()
ax.set_ylim(-9.4, 9.4) # ohraničenie hodnôt pre os y
ax.set_yticks(range(-9, 9+1)) # kótovanie y-ovej osi

## graf funkcie y = a(x-h)+k
def plot_graph(a, h, k):
    ax.set_title(r"Graf funkcie $y = {0}({{x}}-{1})+{2}$".format(a, h, k))
    if ax.lines:
        ax.lines[0].set_ydata(f(X, a, h, k))
        ax.lines[1].set_data(h, k)
    else:
        ax.plot(X, f(X, a, h, k))
        ax.plot(h, k, 'o')

widgets.interact(plot_graph,
                 a=widgets.SelectionSlider(options=[-2, -1, -1/2, 1/2, 1, 2], value=1),
                 h=widgets.IntSlider(min=-1, max=1, step=1, value=0),
                 k=widgets.IntSlider(min=-1, max=1, step=1, value=0)
                )

fig.show()

Interaktívny príklad

Nakreslenie grafu lineárnej funkcie danej rovnicou v štandardnom tvare $$y = ax+b$$ pre vybrané hodnoty parametrov $a,b$.

#####
##### grafy parametrického systému funkcií (interaktívna verzia)
#####

#### vstupné údaje
def f(X, a, b): return a * X + b
X = np.linspace(-3, 3, 6*10+1)

#### obrázok s jedným diagramom
fig, ax = plt.subplots()
fig.set_size_inches(4, 12)

### diagram
init_subplot(ax)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid()
ax.set_ylim(-8.4, 8.4) # ohraničenie hodnôt pre os y
ax.set_yticks(range(-8, 8+1)) # kótovanie y-ovej osi

## graf funkcie y = ax+b
def plot_graph(a, b):
    ax.set_title(r"Graf funkcie $y = {0}{{x}}+{1}$".format(a, b))
    if ax.lines:
        ax.lines[0].set_ydata(f(X, a, b))
    else:
        ax.plot(X, f(X, a, b))

widgets.interact(plot_graph, 
                 a=widgets.SelectionSlider(options=[-2, -1, -1/2, 1/2, 1, 2], value=1),
                 b=widgets.IntSlider(min=-2, max=2, step=1, value=0)
                )

### samotné zobrazenie
fig.show()